Premessa

 

L'EUCLIDE DI LAMBERT

 

 

«In questo modo si può misurare qualcosa in cielo, perché si può misurare qualcosa sulla terra».

J.H. Lambert


«Non entri nessuno che sia ignorante di geometria» - avrebbe potuto far scrivere Lambert sulla porta del suo studio presso l'Accademia delle Scienze di Berlino, per denunciare lo stato pre-euclideo della metafisica del suo tempo. «È questo ora il destino della filosofia - scrive - questa scienza che dovrebbe fare per le qualità ciò che la geometria ha fatto per la grandezza» (Ü.M. 5). Certo, Lambert non è il primo in questo tentativo di rendere la filosofia una scienza rigorosa richiamandosi alla geometria, ma è forse il primo a portare a fondo questo progetto e a non lasciarsi fuorviare dalla koiné sorta dalle carte di qualche zelante filosofo, sulla base magari di una interpretazione riduttiva della distinzione pascaliana tra esprit de géométrie ed esprit de finesse [1].

Ciò che contraddistingue l'opera di Lambert da quella di molti suoi predecessori, e che in parte spiega l'originalità e la radicalità del senso di questo appello al modello geometrico, sono due aspetti fondamentali: Lambert ha letto Euclide direttamente ed è, oltre che filosofo, anche un 'genio' matematico e uno scienziato. Non stupisce dunque che, in confronto al suo lavoro, «molti grandi spiriti» si rivelano aver «conosciuto appena la metà (kaum die Hälfte) del metodo matematico» [2] ; si tratta quindi di lavorare - spiega Lambert a Kant - su quest'«altra metà (andere Hälfte[3] , dal momento che, dopo Wolff, «rimanevano ancora da trovare, in aggiunta al formale, das Materielle, e in aggiunta all'ipotetico, das Categorische» [4] . È qui chiaro il riferimento a un metodo geometrico che sia fondato sugli assiomi e postulati piuttosto che sulle definizioni e che, a sua volta, comprenda in sé un costitutivo lavoro sui dati e sulle questioni come anche sui nessi tra le parti e tra le parti e il tutto.

Per quanto riguarda la lettura diretta degli Elementi [5] il resoconto di Lambert non lascia adito a dubbi: «ho letto Euclide molto dopo aver letto Wolff. (...) Sapevo già all'incirca che cosa fossero il metodo scolastico e il metodo matematico, e con tutto ciò la prima proposizione di Euclide mi destò stupore (setzte mich in Verwunderung)» (C.V. 79). Ed ecco che lo stupore [6] , la meraviglia di eco aristotelica, ci avvisa che ha inizio la filosofia di Lambert. Da questa affermazione si evince fin da subito che il metodo geometrico prende forma in Lambert, cartesianamente, di contro al vecchio metodo scolastico e inoltre che Lambert non si limitò a conoscere Euclide a partire dall'opera di Wolff: finché leggeva Wolff e studiava il metodo scolastico, la vera e propria filosofia lambertiana non aveva ancora avuto inizio. In quel Monatsbuch intellettuale in cui Lambert annota con solerzia ogni sua scoperta, in data gennaio 1756 si legge: «Adnotata circa Methodum mathematicam»; può essere questo il periodo in cui si colloca questa lettura epocale di Euclide. Data che troverebbe conferma nel fatto che solo la primissima opera filosofica di Lambert, il De Pulchritudine, scritta nel 1752, era ancora redatta more geometrico e credeva dunque di poter rubare la certezza della geometria emulandone la sola forma. A quel tempo non aveva ancora letto gli Elementi, mentre dal 1761 [7] il metodo matematico è ormai già soprattutto uno strumento concettuale, un criterio del possibile, ed Euclide figura come necessaria integrazione tra Descartes e Wolff come anche tra Locke e Wolff.

Occorre comprendere appieno il genio euclideo; subito Lambert mette in guardia dai «Fehlschlüsse» che sorgono se «si assumono alla lettera (dem Buchstaben nach) quelle parole che Euclide vuole saper intese secondo la cosa (der Sache nach[8] : «alla base della geometria - va ripetendo - si trova la cosa stessa» (Arch 42); le parti sono costitutive di un tutto. Nella sua opera di geometria Theorie der Parallellinien, Lambert offre intanto «un breve schizzo dello spirito del metodo euclideo (kurzer Entwurfe der Geist der Euklidischen Methode)», spirito di cui in Wolff si trova «poco o nulla - anzi molto spesso il contrario» (T.P. 8): l'attenzione alla «rappresentabilità e pensabilità della cosa» e il ricorrere al categorico nei teoremi attingendolo dai postulati piuttosto che dalle definizioni (v. cap. I, 1.3).

E se l'Euclide dei suoi predecessori era un Euclide dimezzato, ossia solo la scorza esteriore oppure soltanto un aspetto, quello di Lambert è a tutto tondo e oltre a rappresentare canonicamente il metodo sintetico [9] , si farà portatore anche di istanze analitiche. Infatti se dal Commento a Euclide di Proclo [10] Lambert riprende la nozione di in riferimento alle definizioni e la rigorosa distinzione tra postulati e assiomi, tra assiomi e teoremi e infine teoremi e problemi, da Pappo [11] riprende l'attenzione alla scomposizione in elementi costitutivi come anche l'accento sui problemi e sui Data euclidei: ossia l'analisi di quali altri dati sono concessi assieme ai data iniziali. Con forza Lambert contrasterà poi la koiné secondo cui la geometria euclidea comporterebbe, a differenza dell'algebra, solo l'ars demonstrandi a scapito dell'ars inveniendi: «Euclide era troppo illuminante (einleuchtend) per essere superato e dover cedere a un metodo che aboliva tutti i mezzi per nuove scoperte» (C.V. 20). «Eccetto Euclide - ecco il verdetto entusiasta - ho trovato pochi libri in cui materia e forma sono ugualmente rilevanti» [12] .

Inoltre, prima di essere filosofo, si è detto, Lambert è un matematico originale e la sua filosofia risulta essere scritta appunto con quella forma mentis: «Puncta sint ideae. Lineae erunt nexus simplices. Triang. nexus trium idearum» [13] - riporta un passo manoscritto di Lambert. Fin da subito poi la matematica aveva saputo trasformare in «nerbo e sangue (Saft und Blut[14] le «regole concernenti la conoscenza dell'intelletto». A testimonianza dell'indefessa produzione matematica di Lambert, si può menzionare la sua dimostrazione dell'irrazionalità di p [15] , e le innumerevoli memorie sui logaritmi trascendenti e iperbolici [16] apparse nei Mémoires dell'Accademia berlinese, come anche il suo stupefacente talento nel creare buona parte del lessico matematico tedesco generando a partire da singole parole primitive interi blocchi concettuali [17] . Insomma, oltre alla conoscenza di Euclide, Lambert dimostra così di essere giunto a quello che Tschirnhaus, nella sua Medicina Mentis, designava come terzo e ultimo grado di conoscenza, caratterizzante il «perfectus Mathematicus»: «portare alla luce, di proprio pugno (suo Marte) e con la forza del proprio ingegno, tutto ciò che è nascosto nella matematica» [18] .

Su questa solida conoscenza l'appello lambertiano al modello matematico sarà in grado di coinvolgere anche la struttura del contenuto, il tipo di legame tra i concetti in gioco e il dispositivo per generarli, di contro alla «identitas methodi philosophicae & mathematicae» di Wolff sancita semplicemente sulla base del definire, del dimostrare e del dedurre [19] . E così Lambert potrà scrivere nel suo Organon quantorum dell'Architectonic: «si può dire che Wolff rimase ancora in certa misura nei limiti in cui lo tennero la conoscenza che aveva della matematica» (Arch 685). Non a caso sarà proprio nella sua Theorie der Parallellinien ( 3-5), e cioè nell'ambito più strettamente geometrico - venuta dunque meno la reverenza dovuta al filosofo - che gli attacchi di Lambert a Wolff, «Dux gregis», si fanno più espliciti: «Wolff nei suoi Anfangsgründe der Geometrie» - scrive - non ha mantenuto «la procedura euclidea» (T.P. 5).

È appunto la Theorie der Parallellinien la sua opera geometrica più importante, scritta nel 1766 [20] e mai pubblicata; qui procedendo per assurdo Lambert si trova ad aprire i mondi delle geometrie non-euclidee, anticipandoli con fervida immaginazione e coerenza argomentativa, e giungendo a conseguenze «che hanno un che di eccitante (etwas Reizendes) da far sorgere facilmente il desiderio che la terza ipotesi sia vera! Solo che io non lo desidererei» (T.P. 80). Accortosi a questo punto di essere andato troppo avanti con la sua ipotesi della sfera a raggio immaginario [21] e, giunto all'estremo di questi ambiti simbolicamente possibili, Lambert si ritira finendo per fare salva l'ipotesi euclidea, «solo che non ho potuto trovarne la dimostrazione» (ibid.).

«I matematici, come in tutto ciò che si chiama metodo, hanno anticipato i filosofi con un buon esempio» (Arch 193), scrive Lambert nell'Architectonic, dimostrando di non fermarsi al metodo geometrico ma di essere pronto a indagare, da matematico, anche la struttura essenziale dell'aritmetica e dell'analisi, dell'algebra, della trigonometria, dell'analisi infinitesimale [22] . L'apporto dell'aritmetica e dell'analisi diviene decisivo nella formazione del concetto generale (v. cap. III, 1.2) mentre quello della trigonometria nella determinazione dei Mittelbegriffe (v. cap. II, 3.2) e infine quello della Diadica leibniziana per il valore del situs. Con il suo Organon quantorum (v. cap. III, 2.2) poi, questa «sorta di matematica universale, vera e propria parte metafisica della conoscenza matematica» [23] , Lambert introduce la matematica pura fin dentro alla sua Architectonic.

Infine il «metodo matematico» in Lambert si arricchisce anche dell'apporto della geometria pratica, dell'astronomia, e della prospettiva: se nei Beiträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung [24] , Lambert si adopra a «rendere applicabile» questa scienza, del 1760 erano intanto i suoi Cosmologische Briefe. «L'astronomia offre l'esempio più perfetto» di una procedura che «inizia con l'osservazione delle Veränderungen» per trovare «il generale nelle leggi della connessione» (Arch 504); e la geometria di Euclide assumerà in Lambert i tratti di un assiduo lavoro, nel risolvere i Quaesita, sulle variazioni e sulle invarianze col mutare delle condizioni. Inoltre, sul puro piano del metodo, in astronomia «si tratta di concludere dalla parte al tutto» [25] . E, di nuovo, questo nesso tra le parti lo si rinviene anche in geometria: «Geometrie erspart Erfahrungen» [26] ; la trigonometria insegna a fare conclusioni sul tutto a partire da un angolo del mondo. Infine come Euclide di Alessandria, Lambert scrive anche di prospettiva: oltre al testo Sur la perspective aerienne [27] , c'è la Freye Perspective del 1759, in versione tedesca e francese [28] , in cui Lambert si prefigge di «abréger le dessin en perspective» ed è dedicata, più che ai pittori, a «coloro i quali si accontentano di apprendere a giudicare solidamente sui disegni» (F.P., I, 5).

La geometria e la matematica non sono dunque in Lambert solo una formula ereditata per la certezza e questa «doppelte Stellung zur Mathematik» [29] , in quanto matematico e in quanto filosofo, costituisce il suo «grande vantaggio su Wolff» [30] , facendo piuttosto ritorno a Leibniz. Lettore di Euclide e matematico, Lambert possiede dunque gli strumenti per dare del metodo geometrico una interpretazione assolutamente inedita: senza essere infedele al suo Euclide, potrà prendere a prestito strumenti anche dall'analisi superiore.

«Nella mia Alethiologie - scrive Lambert a Sulzer - si trova un capitolo in cui sono riuscito a impiegare il metodo e lo stile di Euclide in tutto il suo rigore e in tutte le sue parti, al punto che (jusques là même) in mancanza di un altro termine tecnico (term d'art) mi sono sentito indotto (entrainé) a servirmi dell'espressione per constructionem» [31] . Priva di un adeguato terme d'art la filosofia, per divenire anch'essa costruttiva, è costretta a rubarlo alla geometria, e Lambert impiegherà Thunlichkeit, Construktion, ma soprattutto Entstehungsart o, in modo più diretto, demanderà alla capacità, tutta di Euclide, di mostrare «la possibilità delle cose, ossia delle figure, indicando il modum in cui si possa disegnarle e realizzarle» (zeichnen und wirklich machen)» (Ü.M. 89) (v. cap. I, 2). Questa costruibilità oscillerà poi dalla composizione del tutto empirica e a posteriori, quasi per tentativi, fino alla costruibilità a priori come postulato ideale e categorico o infine prodotto di un algoritmo. L'opposizione al metodo scolastico è il cardine attorno a cui si sviluppa la nozione di mos geometricus lambertiana; più che l'estrinsecità e staticità delle categorie e della divisione in genere e specie si devono ricercare in geometria il principio operativo interno e la genesi, come fecero Descartes, Hobbes e Tschirnhaus [32] .

Lambert svela così il carattere genetico-costruttivo degli Elementi di Euclide, mettendo al contempo l'accento su un suo aspetto essenzialmente scompositivo. Preliminare e costitutiva di questa costruzione è infatti l'anatomia (v. cap. I, 1.5): «Euclide non fa l'analisi bensì l'anatomia (Anatomie) dello spazio e in tal modo crea la geometria», scrive Lambert a Holland, rifiutando la dicitura di «analisi» - procedimento per lui di regressione senza fine - in nome piuttosto della Zergliederung che rinvia, come suo complemento, alla successiva composizione a priori [33] . L'Euclide di Lambert è un Euclide costantemente dedito a scomporre le figure e a rinvenire i nessi tra le parti e il tutto alla ricerca appunto della legge genetica: alla base degli Elementi egli rinviene l'«ordine di legame o legale», un ordine intrinseco di contro a qualunque disposizione estrinseca «locale» (v. cap. I, 1.1). Alle radici della geometria, come anche di una perfetta Zeichenkunst, funge la chimica: Lambert parlerà di Probierkunst (C. V. 46, 55) rinviando alla docimastica dei concetti. Abrahm Gotthelf Kästner, «Nestore della matematica tedesca» [34] , a questo riguardo sarà ancora più radicale e nei suoi Anfangsgründe der Arithmetik [35] , mettendo in luce ciò che era in ombra, inverte l'ordine, riformulando le definizioni euclidee regressivamente in termini di estremità, partendo dal solido (körperliche Ausdehnung) fino ad arrivare al punto.

Gli strumenti che Lambert trae dalla geometria sono strumenti cui deve sottostare e piegarsi anche lo scettico più radicale: l'Euclide di Lambert è infatti un Euclide che aveva come «avversari i sofisti più rigorosi» (Ü.M. 46); e in effetti in molti aspetti la geometria euclidea pare essere una risposta alle provocazioni degli scettici e soprattutto ai paradossi di Zenone [36] . Ripercorrendo «la procedura di Euclide», Lambert mette in campo gli espedienti euclidei per giungere a un piano di possibilità positiva e categorica di contro a una mera possibilità nominale o alle chimere: oltre alla costruzione e all'anatomia, compare l'inevitabilità del riferimento alla sfera pratica e alla figura. «Pensavo avrebbe cominciato con un teorema - scrive Lambert commentando la prima proposizione di Euclide - invece iniziò con un compito. Come, ho pensato, la teoria non deve avanzare prima che si sia ricorsi alla pratica (Ausübung)?!» (C.V. 79). , ciò che appunto bisognava fare, scrive Euclide al termine dei suoi problemi per distinguerli dai teoremi; qui la tradizione di Menecmo ha la meglio su quella di Speusippo (v. cap. II, 1). La Ausübung intanto, strumento fondamentale al pensare, non è solo il tracciamento della linea ma anche il rigore dell'estrazione delle radici (C.V. 49); da qui sorgerà il primato lambertiano dei postulati.

È inoltre un Euclide sempre dedito a tracciar figure quello descritto da Lambert: «Si può certamente (allerdings) concedere di disegnare una figura come Leitfaden per condurre la dimostrazione» (T.P. 11), scrive, allo stesso modo in cui «talvolta un esempio chiarisce (aufklärt) una proposizione generale appunto perché indica le determinazioni più dettagliate (die nähern Bestimmungen[37] (Sem 314). Nell'esigenza lambertiana del concreto e nella sua passione per la figurazione, la chiarezza sorge non dall'analisi bensì dall'aggiunta di «nähere Bestimmungen»! In effetti è caratteristico dell'andamento euclideo [38] che, per dimostrare il generale, si passi attraverso il particolare di una figura ABC. Per questo Pitagora chiamava l'aritmetica e la geometria semplicemente [39]. Dal discorso lambertiano non emerge del resto alcuna contrapposizione tra la figura - intesa innanzitutto nel significato sintattico-genetico piuttosto che intuitivo (v. cap. I, 3) - e la dimostrazione: questi due elementi della geometria si integrano reciprocamente e nella Vorrede all'Architectonic Lambert, con un binomio straordinario, parlerà di «demonstrative Figuren» [40] ; siamo qui ben lontani dalla wolfiana interpretazione sillogizzante di Euclide.

Vista dunque l'impostazione fortemente metodologica di Lambert, non ha senso perdersi nella querelle se Lambert sia da porre nelle file della geometria euclidea oppure di quella non-euclidea [41] : nel contesto della sua opera filosofica, quello che conta è la lettura radicale che Lambert effettua su Euclide e gli strumenti che ne trae per il pensiero. Nel nome dello «spirito del metodo euclideo», Lambert prende le distanze da coloro i quali a Euclide si sono rivolti, ma per correggerlo e mutarne l'ordine, finendo per snaturarlo o peggio detronizzarlo. Si spiega allora l'inusuale, quanto a prima vista stravagante, polemica di Lambert verso Pietro Ramo [42] : «sembrò che Ramus - dichiara - fosse stato addirittura sul punto di detronizzare (wegschaffen) Euclide e di trasformare tanto la geometria quanto la metafisica in un caos di definizioni e divisioni» [43] ; egli osò appunto - scrive altrove - «introdurre in geometria il metodo scolastico» (C.V. 20). Infatti Pietro Ramo nella sua Geometria [44] , nonostante le sue battaglie contro la «barbarie» della scolastica, aveva riscritto Euclide alla ricerca del vero ordine e nelle Scholae Mathematicae [45] accusava Euclide di «hysterologia manifesta» deplorando: «partitio autem (...) prorsus nulla» [46] ; obiezione che Lambert doveva conoscere perché riportata dallo stesso Wolff nell'Ontologia [47] .

L'errore di Ramo fu dunque quello di trattare la geometria alla maniera della metafisica, trascurando le sue istanze genetiche in nome di un metodo dicotomico e classificatorio: «invece - spiega ancora Lambert - avrebbe dovuto fare esattamente il contrario (ganz das Gegentheil) e trattare la metafisica alla maniera di Euclide» [48] . Lo stesso vale del resto per Arnauld, il quale nei suoi Nouveaux Eléments de Géométrie [49] riscrive Euclide alterandone l'ordine e ponendo di nuovo tra i défauts del metodo dei geometri quello di «ne point se servir de division et de partitions» [50] . Per Lambert invece l'equazione metodo geometrico = metodo di Euclide è un imperativo. E senza gli strumenti offerti da questo Euclide poliedrico, la filosofia è invece destinata a consumarsi in cecità, vaniloquio e mere supposizioni; si tratta di restituire la vista alla metafisica poiché, ad avviso di Lambert, «un purus putus Metaphysicus è nella stessa condizione di chi è privo di un senso, come al cieco manca il vedere» [51] .

Paola Basso

 

[1] Del resto Pascal stesso in quanto geometra e allievo di Desargues non rispetterà quella distinzione che aveva sancito in quanto filosofo.

[2] Lambert a Holland, Berlino, 18 marzo 1765, p. 7; se qui in una nota Bernoulli riconduce questa espressione all'aver o meno applicato il metodo matematico al di fuori della quantità, da altri passi simili si desume un senso più strutturale di questa critica (cfr. lettera a Holland, 27 aprile 1767, p. 189 e a Ploucquet, 1 maggio 1767, p. 400) .

[3] A Kant, 13 novembre 1765, in Kants Werke, Berlin 1922, Bd. X, p. 54.

[4] Lambert a Kant, 13 novembre 1765 e Lambert a Ploucquet, 1 maggio 1767, p. 400. Cfr. cap. I, 1.2, cap. II, 2.2 e la nota terminologica.

[5] Lambert ne lesse molto probabilmente una versione in latino e infatti, citando espressioni di Euclide in opere tedesche o francesi, le riporta in latino: «per constructionem», «per definitionem» (seppur la sua interpretazione di quest'ultima rivela poi un'ascendenza del termine greco Proclo - v. cap. I, 1.3). Oltre alle edizioni di Commandino e Clavio, diffusa in Germania in quel periodo, e letta tra l'altro da Tschirnhaus e Wolff, era l'edizione di André Tacquet, Elementa Euclidea Geometriae planae et solidae, 1654 (rist.: Patavia 1729, Romae 1744), integrata da quella di Barrow, contenente anche i Data. L'edizione posseduta da Lambert fa capo ad almeno 12 assiomi; il fatto invece che egli chiami XI assioma quello che oggi è riconosciuto essere il V postulato non costituisce alcun indizio, dal momento che, fino all'edizione ottocentesca di Peyrard, sembra che tutte le edizioni e versioni riportassero quella dicitura. Proclo e Pappo intanto erano i commenti a Euclide allora più diffusi. Da questi si dipartono lungo tutto il Seicento e Settecento due linee di lettura: quella sintetica e quella analitica; v. a questo riguardo Engfer, H-J., Philosophie als Analysis, Studien zur Entwicklung philosophischer Analysiskonzeptionen unter dem Einfluß mathematischer Methodenmodelle im 17. und frühen 18. Jahrhundert, Stuttgart-Bad Cannstatt 1982.

[6] Lo stupore si spiega non solo per la differenza tra i due metodi, scolastico ed euclideo, ma anche perché in relazione a questa prima proposizione erano sorte infinite polemiche. Nel 1742 Wolff aveva cercato di affrontare la questione e Kästner, per colmare la lacuna denunciata in questa proposizione, aveva scelto di porre tra le definizioni iniziali quella di continuo - nozione di fatto per Lambert non definibile.

[7] Sono del 1761 e 1762 i primi scritti conclusi specificamente filosofici, ossia lo Über die Methode e la Abhandlung vom Criterium veritatis, non più redatti more geometrico seppur nel vivo dello «spirito del metodo euclideo».

[8] A Holland, 15 settembre 1766, p. 161.

[9] Come esempio del metodo sintetico Lambert chiama in causa «der ganze Euclid» (C.V. 28).

[10] Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum Commentariorum ad universam mathematicam disciplinam principium eruditionis tradentium libri III, Patavii 1560 (A Commentary on the first Book of Euclid's Elements, by G.R. Morrow, Princeton 1970), v. Prologo.

[11] Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones, a Federico Commandino Urbinate in latinum conversae et commentariis illustratae, Venetiis 1594 (Collectionis quae supersunt, Berlin 1877), Liber VII. In questo libro Pappo oltre a delineare la procedura di due tipi di analisi, presenta un Thesaurus analitico, in cui comprende i Data di Euclide; è infatti nella soluzione dei problemi che l'analisi viene in primo piano.

[12] Lambert a Holland, 27 aprile 1767, p. 187. L'ammirazione totale per Euclide e l'architettonica dei suoi Elementi è una costante: «Sembra che Euclide abbia avuto una visione di insieme (en gros übersehen) della sua geometria prima di scriverla», annota Lambert nel Gedanke N. 27, L.A., II, p. 193.

[13] V. lo handschrifticher Nachlass, o Lambertiana, presso il reparto mss. della UniversitätsBibliothek di Basilea, alla segnatura L.I.a, Codex 744 C, p. 33.

[14] Lambert al Pfarrherr Rißler, Chur, 25 Nov (6 Dec.) 1750: in Lamberts deutsche gelehrte Briefwechsel, hrg. Bernoulli, Dessau 1782, Bd II, p. 8-9.

[15] Nelle Vorläufige Kenntniße für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen, presentate all'Accademia di Berlino nel 1761. La questione sarà però definitivamente chiusa solo con Lindemann, Über die Zahl p , «Mathematische Annalen» 1882, in cui si dimostra l'impossibilità di ottenere p come radice di un'equazione a coefficienti razionali. Esiste una collezione di buona parte degli scritti matematici curata da A. Speiser, Opera mathematica.

[16] Lambert aveva riportato tutte le equazioni trigonometriche di Eulero, effettuate sull cerchio, su una iperbole equilatera; cfr. i «Mémoires de l'Académie Royale des Sciences», Berlin 1761.

[17] Sulla base di mere variazioni nelle declinazioni in modo tale che si possa dalla struttura stessa della nuova parola intenderne il significato e giocare tra loro il tedesco e il latino. Senklinie, Grenzlinie, Abwägungslinie, Grenzpunkt, Abwägungspunkt, Wendungspunkt, Längepunkt, Längeseite, Bodenseite, Circulbogen, Circulfläche. Si veda a questo proposito: Wilhelm Busch, Die deutsche Fachsprache der Mathematik, in: «Gießener Beiträge zur deutschen Philologie», Gießen 1933.

[18] E.W. Tschirnhaus, Medicina Mentis sive artis inveniendi praecepta generalia, Lipsiae 1695 (repr: Hildesheim 1964), p. XII dell'introduzione; (tr. it., Napoli 1987, p. 57). E nella conclusione: «ci sono pochi filosofi che hanno realizzato qualcosa degno di lode, senza avere nello stesso tempo una conoscenza della matematica», p. 277, (tr. it., p. 386).

[19] C. Wolff, Elementa Matheseos Universae, Halae 1713, si veda in particolare la De methodo mathematica brevis Commentatio: «accurate definizioni», «un rigoroso dimostrare» e la legge secondo la quale «praemittantur ea, unde cetera intelliguntur & demonstrantur».

[20] Verrà pubblicata postuma per opera di Johann III Bernoulli, nel «Leipziger Magazin für reine und angewandte Mathematik», 1786, pp. 142-164 e pp. 325-358. Cfr. W.S. Peters, J.H. Lamberts Konception einer Geometrie auf einer imaginären Kugel, Diss. Bonn 1961.

[21] «Nessuna figura si lascerebbe rappresentare altrimenti che nella sua grandezza assoluta» (ibid.), le tavole trigonometriche si complicherebbero per l'aggiunta degli angoli negativi (tuttavia questa ipotesi fornirebbe il mezzo per collegare l'accrescimento della superficie del triangolo al decrescere della somma dei suoi angoli.

[22] In Lambert dunque, sotto all'unica dicitura di «metodo matematico» fungono sia la geometria che l'algebra. I primi due libri che riesce ad avere tra le mani sono un trattato di algebra e uno di meccanica, ossia matematica pura e matematica applicata.

[23] Lamberts Eigene Recension seiner Architectonic, Ph. S., VII, p. 423. Lambert si cala nella «Ausmessung» in quanto «comparazione (Vergleichen) di grandezze con l'ausilio di un Maßstab» - qualunque strumento esso sia, da un barometro a una pompa ad aria (Arch 777) - una volta fissato un ordine di grandezze il cui grado risieda nella cosa stessa (Arch 767-775). Si veda a questo riguardo K. Berka, Lamberts Beitrag zur Meßtheorie, in «Organon» 9, 1973, pp. 231-241.

[24] Pubblicati nel 1792 dall'Accademia di Berlino (v. Vorbericht).

[25] Lambert a Bodmer, commentando le riflessioni di Wegelin, p. 374. nell'universo di Lambert «tutte le proprietà di un corpo dipendono dalle sue parti e dalla sua struttura» (Fr.V XXIII), L.A., I, p. 395.

[26] Nelle L.A., II, Gedanke N. 31, p. 180.

[27] In cui si tenta l'applicazione della matematica alla «dégradation de la couleur des objects par rapport à leur éloignement».

[28] Il testo francese si intitola: La perspective affranchie de l'embaras du plan gèometral, Zurig 1759.

[29] K. Krienelke, J.H. Lamberts Philosophie der Mathematik, Diss., Halle 1909, p. 14.

[30] L.W. Beck, Early German Philosophy. Kant and his predecessors, Cambridge (Mass.) 1969, pp. 402-3.

[31] Si veda lo Handschriftlicher Nachlass di Lambert, L.Ia 745, lettera del 24 luglio 1763, p. 199-202.

[32] E a suo modo anche Spinoza. Non si può qui approfondire la questione di una considerazione genetica del metodo matematico nel Seicento; si rimanda a De Angelis, Il metodo geometrico nella filosofia del Seicento, Pisa 1964.

[33] Lambert a Holland, 21 aprile 1765, p. 35. Piuttosto che all'analisi leibniziana, Lambert si appella all'«anatomia» di Locke, o anche alla Zergliederung, in quanto rinvianti agli organi o ai membri (Glieder) che mettono di per sé un limite materiale all'analisi senza fine (cfr. l'inizio dell'Architectonic 7-10). Nonostante Engfer (Philosophie als Analysis, cit., pp. 26-8), centrale in Lambert non è l'alternativa metodo analitico o sintetico; dal momento che il suo interesse abbraccia entrambe le direzioni: ciò a partire da cui un concetto composto si produce, ma anche la sua genesi dal semplice. Erfindungskunst comunque è la sintesi mentre l'analisi è d'uso solo nelle disputazioni accademiche e nelle Schulübungen (C.V. 28). La questione per Lambert è quella di giungere sin nell'interno delle cose per indicare la via attraverso la quale si giunge senza contraddizione al composto - ecco perché «Mittelweg» tra analitico e sintetico. L'anatomia da sola - come del resto in Pappo stesso - è però insufficiente, e a Locke Lambert rimprovererà sempre di non aver seguito la via di Euclide portando avanti la successiva composizione a priori (v. Arch 10 e lettera a Sulzer, 23 luglio 1763), v. infra cap. I, 1.5.

[34] L'espressione è di Kant, il quale studiò sui manuali di questo matematico di Gottinga. Con Kästner Lambert instaura una corrispondenza. Viene considerato a torto un wolfiano (si veda a riguardo la lettera del 2 ottobre 1790 di Kästner a Kant). Per Kästner si rimanda a L. Marino, Praeceptores Germaniae. Göttingen 1770-1820, Göttingen 1995.

[35] A.G. Kästner, Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie, ebenen und sphärischen Trigonometrie und Perspective, Göttingen 1764. E sarà questa via analitica a giungere a Bolzano; si veda infra, cap. I, 1.2.

[36] Questa lettura verrà poi ripresa da una tendenza dell'epistemologia moderna; cfr. Arpad Szabò, nella linea anche di Federico Enriques e Attilio Frajese. E se l'assioma euclideo «il tutto è più grande della parte» pare proprio voler riaffermare una verità messa in dubbio dai paradossi zenoniani, la nozione di punto senza parti si allinea con l'intuizione zenoniana secondo cui tra due punti di una linea si può sempre inserire almeno un punto intermedio.

[37] La dimostrazione, a sua volta, è veicolo di determinazione del teorema ed è qui fonte, per usare un'espressione di Lambert, di «equità ermeneutica (hermeneutische Billigkeit)» (ibid.). Compito delle dimostrazioni euclidee per Lambert è orientare lo sguardo sulla figura che le accompagna; sono figure che si rendono quasi discorsive.

[38] Si rimanda a I. Müller, Philosophy of Mathematics and deductive Structure in Euclid's Elements, Cambridge-Mass 1981.

[39] Jamblichos, Vita Pythagorica 89, cfr. A. Szabò, Anfänge des euklidischen Axiomensystem, in «Archive for history of exact sciences», p. 87, vol. 1, 1960.

[40] Ma la questione delle figure in geometria è a tutt'oggi aperta; in una lettera a Natorp, Husserl aveva scritto: «Euclide dimostra più volte a partire dalla figura (vierlerlei aus der Figur), egli assume come evidente che le relazioni di posizione (Lagenverhältniße) siano esse stesse geometriche, in quanto tali egli le coglie in linea empirica e sulla base delle sue intuizioni geometriche (...). In questo senso manca a Euclide il vero rigore; le sue dimostrazioni sono ottenute con l'inganno (erschlichen), in E. Husserl, Brief an Natorp, 29-3-1897, in Husserliana Bd XXI, Studien zur Arithmetik und Geometrie, Texte aus dem Nachlass (1886-1901), Den Haag 1983, pp. 390-395.

[41] Jaroslav Folta, in Lambert' s «Architectonics» and the foundations of geometry (negli «Acta historiae naturalium necnon technicarum», Praga 1974, pp. 145-161) deplora la tendenza a «trascurare nella storia della matematica l'interessante anticipazione di Lambert delle successive idee delle geometrie non-euclidee» (p. 146). Del resto è una querelle mal posta che rimarrebbe indecisa; se la nozione lambertiana di «dimensione» è quella di «dipendenza funzionale di diversi parametri», Folta stesso è poi costretto a riconoscere, alla fine, «Lambert's submission to illustrative reality».

[42] Una fonte sicura per Lambert su Ramo è lo scritto di Piscator Animadversiones in P. Rami Dialecticam da Lambert citato nella Vorrede all'Architectonic. Questa versione di Lambert può dunque essere riferita alla vulgata ramista la quale aveva tra l'altro anteposto l'aritmetica alla geometria e abolito le dimostrazioni.

[43] A Holland, aprile 1765, p. 32; in questo caso la traduzione «detronizzare» è di R. Ciafardone, v. Appendice a C. Wolff, Logica Tedesca, Bologna 1978.

[44] P. Ramus, Arithmeticae Libri duo; Geometriae septem et viginti, Basileae 1569.

[45] Petri Rami Scholarum Mathematicarum, libri unus et triginta, Basileae 1569; Francofurti 1599; in particolare si veda il libro III.

[46] Scholae, cit., lib. 3, p. 82.

[47] C. Wolff Philosophia prima sive Ontologia, Francofurti et Lipsiae 1730, (Notanda 246). Il riferimento di Wolff a questa critica di Ramo è in fondo fatto con spirito del tutto opposto a quello di Lambert.

[48] Lambert a Holland, 21 aprile 1765, p. 33. E in fondo si può dire che nel medesimo errore era incappato Erhard Weigel, il quale nella sua Analysis Aristotelica ex Euclide restituta, Jena 1599, finiva per appiattire Euclide su Aristotele, trattando così la geometria alla maniera della metafisica.

[49] Paris 1667.

[50] A. Arnauld, Art de penser, Paris 1662, pars 4, c. 9, p. 352 (in Oeuvres, vol. 41, Paris 1780; repr. Bruxelles 1967, p. 390). È Wolff (Ontologia, cit., Notanda 246) a notare la comunanza con i passi di Ramo.

[51] Lambert a Kant, 1770, p. 356-7.


 

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