Numero e figura
Idee per un’epistemologia della ripetizione
I, § 2

Giovanni Piana

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- Il metodo del tanti-quanti
- La formazione di insiemi-modello per la determinazione della quantità
- Assenza di una generalizzazione autentica del metodo
- Nel metodo del tanti-quanti non si sa nulla sul numero, non si conta, e nemmeno vi sono nomi per numeri


Stando al «colpo d’occhio» la strada verso il numero è rigorosamente sbarrata. Torniamo allora alla nostra favola del pastore preistorico di cui non abbiamo ancora narrato l’epilogo. |1|

Nella sua Storia universale dei numeri, Ifrah dopo aver parlato di ciò che egli chiama «sensazione numerica» - indicando con ciò «una sorta di percezione diretta dei numeri», in un senso prossimo [1] a quello che abbiamo illustrato or ora parlando di afferramento diretto del numero - prende in considerazione il «primo procedimento aritmetico» e lo individua, come del resto ciascuno avrebbe ragione di attendersi, in un’operazione di corrispondenza biunivoca. In realtà usare una simile espressione o altre espressioni tecniche di origine logico-matematica di significato analogo, non è troppo opportuno perché essere debbono essere mantenute nel contesto che è loro proprio. Poiché ci stiamo occupando di una situazione quanto mai remota, che si perde nella favolosa notte dei tempi, e siamo dunque lontanissimi dai modi di approccio di un’esposizione formale, preferiamo riferirci a questa operazione parlando di metodo del tanti-quanti. Espressione certo più rozza, ma degna appunto della rozzezza di un pastore. |2|

Qui abbiamo a che fare con molteplicità concrete - e non con «insiemi» pensati nella teoria formale corrispondente - e dunque nemmeno con domini, codomini, iniezioni, suriezioni, biiezioni, ecc. Inoltre non possiamo affatto permetterci di dimenticare che il problema della determinazione delle quantità emerge in questo contesto come un problema legato a primitive pratiche quotidiane, normalmente legate a interessi di ordine economico in senso lato, scambi di merci, determinazione delle doti delle donne da marito, ed anche di altro ordine, ad es. di ordine magico-rituale e religioso (enunciazione di un numero prefissato di litanie, di lodi del signore, ecc.). In che cosa consiste dunque il metodo del tanti-quanti considerato su questo terreno primitivo-concreto? Consiste nel rispondere alla domanda «Quanti?» non già con un termine numerico (nome di numero), raggiunto come risultato di una procedura di conteggio, ma nell’esibizione di una molteplicità che è stata posta in corrispondenza uno a uno con la molteplicità che deve essere determinata. Alla domanda: «Quanti?» che ci viene proposta mostrando a dito una certa molteplicità di oggetti, si risponde mostrando a dito un’altra molteplicità dicendo: «Tanti così». In rapporto al pastore preistorico: egli escogiterà su questa base una procedura di verifica che assolve allo scopo. Ad esempio, egli farà rientrare le pecore ad una ad una nell’ovile associando ad ogni pecora un bastoncino, oppure una pietruzza, o un’altra cosa qualunque. |3|

In questo modo realizza quello che potremmo chiamare un insieme-modello [2] per il suo gregge. Sa che il suo gregge ha tante pecore quante sono i bastoncini che conserva eventualmente in un sacchetto - e di conseguenza riesce ad effettuare la valutazione a cui è interessato. |4|

Naturalmente restiamo qui inizialmente vincolati ad una situazione del tutto particolare, particolare è il compito da svolgere - si tratta proprio del gregge, e di null’altro - particolare è il sacchetto con i suoi bastoncini che servono esattamente a quello scopo, e a null’altro. |5|

Si comprende però anche che, giunti a questo punto, è subito possibile un passo significativo verso un’applicazione un poco più ampia del metodo. I bastoncini infatti sono rappresentativi di una certa quantità di oggetti. E si potranno possedere svariate collezioni di oggetti, differenti qualitativamente in modo da non confonderli tra loro, ed ognuna di esse sarà rappresentativa di una certa quantità di oggetti. Avremo dunque a disposizioni svariati insiemi-modello - una collezione di bastoncini, una di conchiglie, un’altra di noci di cocco o di chicchi di caffè [3]. Di fronte ad una molteplicità da determinare nella sua quantità essa potrà essere messa alla prova del tanti-quanti, e potremo forse trovare tra i nostri insiemi-modello un insieme corrispondente ad essa. |6|

Appare tuttavia subito chiaro che non si tratta di un’effettiva generalizzazione. L’idea di un metodo di determinazione quantitativa che non sia un metodo per qualsiasi molteplicità può essere per noi, uomini evoluti, abbastanza difficile da comprendere: eppure bisogna prender nota di questa mancanza di generalità che è strettamente dipendente dalla rete di interessi in cui è ancora inviluppato l’interesse conoscitivo. |7|

Possiamo immaginare che per il pescatore di perle di un milione di anni fa non tutte le molteplicità siano egualmente significative - come del resto accade a noi tutti nella nostra vita normale: egli non si accingerà mai a «contare» le pietruzze della riva, ma le perle raccolte in giornata, e queste del resto non faranno mai un mucchio grande come una montagna. |8|

Un metodo per effettuare la determinazione delle poche molteplicità che rientrano negli interessi quotidiani è quanto basta e la questione generale di un possibile metodo per la determinazione quantitativa di qualunque molteplicità, di cui la procedura applicata nel caso particolare possa essere considerata una specializzazione, non si pone nemmeno. La molteplicità con cui si ha a che fare è ora sempre una molteplicità data o una molteplicità empiricamente possibile e non il pensiero puro di una molteplicità (cosa che significa poi: una molteplicità possibile in generale). |9|

Ciò mostra inversamente quale ricchezza di significato sia nascosta in parolette come «qualsiasi», «ogni», «qualunque». Si può fare riferimento ad esse per spiegare in modo semplice ed elementare che cosa significhi il rendersi autonomo di un interesse puramente conoscitivo; ed anche l’importanza decisiva che questa autonomia riveste per il passaggio al pensiero astratto. |10|

Sulla base di queste considerazioni dobbiamo riproporre la nostra domanda iniziale: in rapporto alla procedura del tanti-quanti possiamo parlare propriamente di numero? In essa si effettua un conteggio effettivo della quantità? |11|

La risposta sembra dover essere ancora fondamentalmente negativa. La via verso il numero è stata imboccata, ma ci troviamo solo al suo inizio. L’opinione che lo stesso Ifrah propone nella discussione degli insiemi-modello ci sembra possa essere largamente condivisa. |12|

«Questo artificio della mente - egli osserva - non fornisce però solo un modo per istituire un confronto tra due raggruppamenti, ma permette anche di pervenire a parecchi numeri, senza pertanto contare, e neppure nominare o conoscere le quantità implicate» [4]. Dunque da un lato ci troviamo oltre la mera apprensione diretta della quantità, dall’altro attraverso il metodo del tanti-quanti non si conta, e nemmeno si sa qualcosa del numero o della sua nozione. In particolare non vi saranno nomi per numeri. |13|

Una simile affermazione ha una sua incontestabile plausibilità. All’interno di una considerazione genetica dobbiamo affermare che il numero resta inaccessibile al metodo del tanti-quanti: in effetti non sappiamo affatto quanti siano gli oggetti della molteplicità, ma siamo soltanto in grado di effettuare una valutazione di certe molteplicità, e precisamente di quelle molteplicità che possono essere confrontate con i particolari insiemi-modello che sono a nostra disposizione. |14|

Pensiamo alla pratica del rosario che sopravvive ancora oggi sia presso la religione cattolica sia presso altre religioni, ad esempio la religione mussulmana nella quale essa serve per enunciare gli attributi di Allah o le sue lodi [5]. Naturalmente si tratta di una pratica fondata sul tanti-quanti, ed essa può essere esercitata senza avere la minima idea di quante siano le Ave Marie o gli attributi di Allah enunciati. |15|

Potremmo dire che ci muoviamo ancora nell’ambito della semplice caratterizzazione del «molti» anche se vi è qui una novità considerevole: all’idea del «molti» si è aggiunta infatti la coscienza della piena determinatezza e della possibilità della piena determinazione. |16|

Io non so quanti siano gli attributi di Allah, ma sono certo, quando sono arrivato alla fine del rosario, di averli detti tutti e, se mi fermo prima, di averne trascurati alcuni. La molteplicità degli attributi di Allah non è un puro «molti» - ma è una molteplicità come un tipo ben determinato dal suo «rosario» ed essa differisce da altre molteplicità altrettanto ben determinate ed alle quali corrisponde un «rosario» del tutto diverso. |17|

L’elemento qualitativo mantiene dunque ancora la massima importanza. I «rosari», gli insiemi-modello, debbono essere riconosciuti per qualche caratteristica che ci consenta di distinguerli l’uno dall’altro e questa caratteristica non potrà naturalmente essere la «numerosità», bensì il colore, la forma, il fatto che l’uno è costituito di conchiglie e l’altro di grani di caffé. Il materiale rappresentativo come tale è irrilevante, ma non è irrilevante la differenza qualitativa degli oggetti che formano la collezione perché il tipo di molteplicità è caratterizzato proprio in base ad essa. |18|

Note

[1] Prossimo, ma non identico. Per Ifrah (ibid., pp. 18 sgg.) come per altri autori si tratta soprattutto di riconoscere una sorta di afferramento istintivo, che potrebbe trovarsi anche presso gli animali. La questione viene invece richiamata da parte nostra con riferimento al problema della perspicuità, che si ritrova esattamente negli stessi termini anche a livello simbolico-notazionale.
[2] L’espressione è impiegata da Ifrah e ci sembra efficace.
[3] G. Ifrah, op. cit., p. 28.
[4] ibid., p. 25.
[5] ibid., p. 25.

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§ 8  


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