Numero e figura
Idee per un’epistemologia della ripetizione
I, §12

Giovanni Piana

12

- Le serie ricorsive
- La serie che rappresenta la forma della concatenazione
- Ciò che mancava ai metodi corporei era il pensiero della concatenazione
- In rapporto ai numeri si può dire che il loro essere coincide con il loro luogo
- Il numero come oggettività sintattica


Se ora volgiamo lo sguardo indietro, possiamo notare quanto strada abbiamo fatto allontanandoci dal piano dei metodi corporei. Come abbiamo osservato in precedenza, il limite di quei metodi non consisteva tanto nel fatto che la serie risultava bloccata in un numero massimo, quanto piuttosto nel fatto che questo blocco non poteva essere superato restando sul loro terreno e la sua esistenza denunciava la mancata acquisizione di una nozione autentica di numero e di serie aritmetica. |1|

In realtà l’arresto della serie potrebbe sembrarci sorprendente e inesplicabile. Come è possibile non riuscire a effettuare un passo così semplice al di là del numero 41? Il primitivismo può essere esso stesso una ragione o non dovremmo forse di questo primitivismo cercare una ragione? |2|

Stando al punto di vista proposto si comprende benissimo la ragione per la quale questo passo non può essere effettuato: infatti la serie da 1 a 41 - secondo la conta dei Papua - non è affatto una serie numerica parziale per il semplice fatto che una serie numerica parziale non esiste: se c’è una parte della serie numerica, essa deve poter esserci tutta. |3|

Il nodo della questione sta nel fatto che l’ordine non era in quel caso un ordine «intrinseco» - tra l’uno e l’altro elemento della serie non vi era dunque un rapporto di concatenazione. Cosicché l’ordine doveva essere contenuto dal sistema corporeo come un sistema non oltrepassabile. |4|

Ora abbiamo trovato una risposta soddisfacente proprio alla domanda intorno alla condizione che deve essere soddisfatta affinché un determinato elemento di una successione occupi necessariamente e non occasionalmente una determinata posizione. La risposta punta sulla possibilità di riportare l’ordine all’iterazione, e precisamente in modo tale da rendere conto del formarsi di un ordine intrinseco. |5|

Un primo risultato delle nostre considerazioni è dunque il seguente: l’ordine intrinseco è una proiezione sul piano obbiettivo-relazionale (ontologico) dell’iterazione ricorsiva dell’operazione. Per pervenire alla serie aritmetica vera e propria (e quindi dei numeri sic et simpliciter) è tuttavia necessario fare un passo ulteriore. |6|

Vogliamo intanto chiamare serie ricorsive [1] le serie i cui elementi sono connessi tra loro da una relazione di concatenazione. Tutte le serie ricorsive hanno una forma comune - e noi diciamo che la serie aritmetica ovvero la serie dei numeri è quella serie che rappresenta la forma comune delle serie ricorsive. Essa è la serie rappresentativa della forma della concatenazione in generale. |7|

Ciò che mancava ai metodi corporei per raggiungere il terreno aritmetico vero e proprio era il pensiero della concatenazione. Questo pensiero diventa effettivo solo nella posizione della serie aritmetica, e questa nello stesso tempo fornisce finalmente anche quell’oggettivazione che rende possibile il parlare di numeri come oggetti. |8|

Il numero è un oggetto in quanto può fare da sostrato a determinazioni predicative, e non in modo fittizio, secondo le pretese riduzioni logico-grammaticali che rappresentano un’autentica ossessione del pensiero empirista. Di un numero si può dire che esso è pari o dispari, che è scomponibile in fattori primi, che si trova in questa o quella relazione con altri numeri, ecc. Ma certamente si tratta di un oggetto molto particolare. L’introduzione del numero non può avvenire se non si introduce al tempo stesso la serie aritmetica. La sua «indipendenza» ha come condizione la sua appartenenza ad essa. Gli oggetti che appartengono a questa serie sono appunto i numeri, sic et simpliciter - non sono più numeri-di...: né di questo né di quello. |9|

Potremmo allora dire che il numero è una entità la cui consistenza d’essere coincide con il luogo (posizione) che essa occupa in forza del modo in cui essa è stata prodotta. Perciò, come si può accentuare la solidità ontologica del numero, così se ne potrebbe accentuare l’evanescenza. Già la possibilità di parlare di un essere che è il suo luogo sembra segnalare che il numero è quasi nulla. Il numero-di... si appoggia sempre a qualche cosa - ad insiemi, ordini, operazioni. Ognuna di queste nozioni può presentarsi depurata da ogni componente empirico-fattuale, come una nozione puramente matematica - ma in ogni caso può trovare anche un’esemplificazione nell’esperienza percettiva. Nell’idea del numero come numero-di... la realtà stessa è presente, sia pure in uno sfondo più o meno lontano. Nella storia fenomenologica del numero dobbiamo prendere le mosse da quelle nozioni e precisamente dal modo in cui esse possono essere concretamente esemplificate e cadere sotto la presa dell’esperienza. Ma quando, seguendo un preciso percorso, perveniamo al numero come oggetto, in certo senso esso non si appoggia su nulla. Non trova alcun sostegno nella realtà. Rispetto al numero considerato come numero-di... è stato effettuato un vero e proprio salto: il numero si costituisce come pura oggettività sintattica, cioè come un’oggettività che è in forza della sintassi iterativo-ricorsiva che sta alla base della serie aritmetica. |10|


Annotazioni

1. È appena il caso di dire che non ci siamo posti alla ricerca di una caratterizzazione definitoria generale del numero, una caratterizzazione cioè sotto la quale dovrebbero essere sussunti i diversi tipi di numero in generale possibili o comunque noti. I numeri di cui parliamo sono sempre i numeri cosiddetti «naturali». Questa espressione è stata evitata per via della sua equivocità: non si può dire infatti che si capisca subito quale sia la «natura» che qui viene evocata. Dopo aver compiuto il nostro itinerario ci sembrerebbe tuttavia una buona decisione quella di dissolvere quel tanto di enigmatico vi è in questa «naturalità» nell’idea della loro primarietà «genealogica». I numeri normalmente detti «naturali» sono proprio quelli che nel percorso genealogico si incontrano per primi.

2. Si sarà certamente notato che nella nostra discussione non abbiamo fatto alcun cenno alle operazioni aritmetiche in senso usuale e in particolare all’addizione. Non avremmo dovuto dire che la serie aritmetica è generata dall’iterazione dell’operazione + 1 a partire dall’inizio 0? Si consideri allora questo punto: le operazioni aritmetiche sono operazioni con i numeri, e dunque i numeri debbono in qualche modo esserci già. La serie aritmetica non può avere origine da un’operazione aritmetica. Dal punto di vista che abbiamo assunto, si parla di operazioni in generale, e non di operazioni arimetiche; e di serie ricorsive come serie generate da operazioni ricorsive; infine della serie aritmetica come serie rappresentativa della forma della concatenazione. Solo al di là della soglia, quando abbiamo ormai a che fare con numeri, si può parlare dell’addizione come un’operazione che ha numeri come base e come risultato [2] .

Note

[1] Cfr. la nozione di «serie formale» nel Tractatus di Wittgenstein, prop. 4.1252 e 5.22.
[2] Questa idea viene elaborata secondo una particolare angolatura, ricca di interesse, nella seconda parte della Filosofia dell’aritmetica di E. Husserl.

  § 11

§ 13  


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