Numero e figura
Idee per un’epistemologia della ripetizione
II, § 5

Giovanni Piana

5
- La questione dell’evidenza
- È evidente il primo postulato?
- E il terzo?
- E che dire del quinto postulato?
- Crisi dell’intuizione e crisi dell’evidenza
- Quattro possibili accezioni del termine evidenza
- Logica delle figure e logica delle proposizioni
- La sospensione del senso nel passaggio alle nuove geometrie
- Evidenze ed assunzioni


Per chiarire la direzione principale dei nostri discorsi ed il loro intento, i postulati (greco) euclidei, a cui abbiamo accennato poco fa, fanno allo scopo. Nella filosofia è spesso necessario ripensare ad un problema senza sentire troppo il peso di dibattiti secolari. Potremmo allora immaginare che Euclide in persona ci venisse incontro dicendo con voce grave:

Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro.

Come è strana questa affermazione esaminandola per quello che letteralmente dice! Ed è strana, a seconda di come la si intende, per ragioni molto differenti, e persino opposte.

Ad esempio, potremmo osservare che è del tutto evidente che si possa, dati due punti, tracciare una linea tra essi. Ma perché vi è bisogno di dichiararlo? Anche in questo caso, come in quello delle definizioni, dobbiamo dare l’importanza che merita al fatto che si operi una verbalizzazione esplicita. Che cosa propriamente viene verbalizzato? Una tacita evidenza, una verità apodittica - e di origine «intuitiva» - o una mera assunzione la cui necessità è puramente interna al gioco linguistico? Io credo che il dibattito su questo punto sia stato spesso falsamente impostato da un lato per via degli equivoci connessi al problema dell’evidenza, dall’altro per il fatto che si è venuta fossilizzando e irrigidendo una contrapposizione che in realtà ha una sua mobilità e ricchezza interna.

Intanto va subito notato che anche qui, come nel caso delle definizioni, la verbalizzazione esplicita dimostra l’intento di creare un netto distacco dal discorso quotidiano - quindi fa parte del progetto di porre ogni presupposto dentro il gioco linguistico, e non fuori di esso.

Quanto alla questione dell’evidenza, ed addirittura ad un’evidenza fondata sull’intuizione - il tenore della risposta dipende certamente dal modo in cui intendiamo questo termine[1].

Se con intuizione intendiamo il rimando ai contesti pratico-concreti dell’esperienza, allora quell’affermazione è tutto meno che evidente. Infatti tra un punto A ed un altro punto B io non potrei tracciare proprio nessuna linea (diritta) se tra A e B ci fosse un alto muro. L’evidenza del terzo postulato è ancora minore dal momento che è chiaro che non potrei affatto tracciare un cerchio se il suo raggio fosse troppo grande.

Inversamente, la possibilità di tracciare tra due punti una linea o di tracciare un cerchio, quando sono soddisfatte le normali condizioni che sono tacitamente sottintese quando ci viene richiesto di tracciare una linea o un cerchio - essa è tanto ovvia da non aver bisogno nemmeno di essere enunciata.

Si comprende la grande novità rappresentata dall’enunciazione dei postulati. La possibilità che è qui in questione non è una possibilità che fa parte del nostro mondo: i punti, le rette e i cerchi di cui in essi si parla sono oggetti di genere interamente nuovo, sono oggetti che appartengono ad un altro universo, e questa alterità comincia a sussistere proprio nel momento in cui io enuncio che tra essi si può sempre tracciare una retta: si può, perché all’universo a cui appartengono i punti non può appartenere qualcosa come un alto muro.

In certo senso la possibilità empirica di tracciare una linea tra due punti sulla lavagna potrebbe rappresentare una sorta di azione introduttiva: io vi mostro che posso tracciare tra due punti qualsiasi sulla lavagna una linea che li congiunge, e vi mostro alcuni esempi, ma con ciò non intendo provare qualcosa di fin troppo ovvio; e cioè che posso fare questo dal momento che lo faccio. Intendo invece preparare una sorta di radicale ribaltamento, nel quale si propongono nuovi oggetti che risultano ricostituiti su un piano interamente diverso: la semplice enunciazione della possibilità esplica una vera e propria azione ontologicamente produttiva in quanto formula una delle condizioni che pone in essere quel tipo di oggetto che è, nell’universo geometrico, il punto e nello stesso tempo anche, istituendo una relazione tra punti e linea, di quel tipo di oggetto che è la linea. Quell’azione introduttiva è ad un tempo essenziale e inessenziale. Essa è essenziale per generare il senso, inessenziale per confermarlo.

Cose all’incirca analoghe sosterremmo anche in rapporto al quinto postulato. Nella sua formulazione comunemente nota esso dice:

Per un punto passa una sola parallela ad una retta data.

Ed il commento continuamente ripetuto, che deve preparare la meraviglia degli incauti di fronte alla sua negazione ed alla celebrazione definitiva della logica di fronte all’intuizione, sarà naturalmente: questa è una circostanza che ci appare «intuitivamente evidente». Oppure: alla nostra «intuizione spaziale» sembra che le cose stiano effettivamente così. «La forma dell’unicità è certo assai intuitiva: alla nostra intuizione sembra impossibile che per uno stesso punto passino più parallele ad una retta data» [2].

A dire il vero quando si parla di «evidenza intuitiva» oppure di «intuizione spaziale» si hanno di mira, sia pure implicitamente, cose piuttosto diverse: nel primo caso, l’evidenza intuitiva è il «lume di naso», il «buon senso». Nel secondo invece - a meno di una confusa allusione alla posizione kantiana - si pensa ad una collezione di convinzioni intorno allo spazio, venute chissà da dove, certamente non passate al vaglio della logica, e dalle quali, a tutta prima - così si sostiene - non vorremmo staccarci.

Abbiamo già detto che non ci sembra di poter trarre alcuna utilità dalla prima accezione. Ma è lecito dubitare che anche la seconda ci possa orientare nella giusta direzione. Non credo che ci sia nessuno che sia in grado di enunciare sui due piedi le proprie convinzioni intorno alla spazio - la questione sembra già essere alquanto filosofica!

Come stanno dunque le cose se le guardiamo dal nostro punto di vista?

Per dare una risposta a questa domanda converrà fare un passo indietro, alla definizione del parallelismo, la XXIII, nella quale si dice che:

Parallele sono quelle rette che, essendo sullo stesso piano e venendo prolungate illimitatatamente dall’una e dall’altra parte non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti.

In rapporto ad essa porremo nuovamente l’accento sul fatto che in questa definizione, come in tutte le altre, si sta a cavallo tra due giochi linguistici profondamente differenti.

Attenendoci al piano dell’esperienza noi abbiamo a che fare con andamenti caratteristici, con configurazioni tipiche.

La seguente configurazione, ad esempio

ha un carattere sulla base del quale potremmo dire che «prima o poi» le due linee si incontreranno. Peraltro si tratta di una formulazione che presuppone una componente di ordine immaginativo: le linee che abbiamo di fronte sono quelle che sono, e non sono affatto movimenti. In certo senso, se ci esprimiamo così, esse sono intese come immagini di movimenti. Oppure ci si rappresenta, per dir così, tacitamente il gesto del tracciare le linee come se ci fosse qualcuno che proprio ora le sta tracciando: dicendo che le due linee si incontreranno anticipiamo il risultato che realizzerà tra poco la tendenza in esse evidente.

La stessa cosa si potrebbe naturalmente dire per il parallelismo. Considerata al di fuori del gioco linguistico geometrico, e quindi sul piano «intuitivo», il parallelismo è essenzialmente una configurazione percettiva che ha il suo andamento caratteristico il cui tipo può essere insegnato ed appreso ostensivamente:

Di questo insegnamento ostensivo non farà certamente parte l’istruzione: si disegnino due rette che, prolungate illimitatamente, non si incontrino mai. Diremo invece di disegnare due rette che abbiano l’andamento caratteristico del parallelismo, andamento che avremo mostrato ricorrendo a svariati mezzi. Tra essi naturalmente potrebbe essere impiegata efficacemente la contrapposizione tra questa configurazione tipica e quell’altra nella quale viene subito evocata l’idea, anzi, si sarebbe quasi tentati di dire, la fantasia di un possibile incontro. L’esibizione di differenze e di contrapposizioni fa probabilmente parte dell’apparato di metodi di cui consiste l’insegnamento ostensivo.

Che nella definizione di Euclide si prendano le mosse da queste configurazioni e che di esse rimanga ancora qualche traccia sarebbe difficile negarlo; ma altrettanto difficile sarebbe negare l’approdo ad un gioco linguistico le cui regole si stanno proprio ora approntando e, insieme alle regole, anche gli oggetti su cui esse vertono.

Supponiamo ora che qualcuno, per metterci alla prova, ci chiedesse a bruciapelo che cosa ne pensiamo intorno alla faccenda del quinto postulato, se per «la nostra intuizione» esso ci appaia senz’altro come evidente - oppure se ci sembri possibile condurre per un punto più di una parallela ad una retta data. Ammettendo che si sia superato un certo sconcerto indotto dalla domanda (anch’essa pretende di stare a cavallo tra due giochi linguistici), cercando una risposta forse penserei all’andamento caratteristico delle parallele, e troverei che questa possibilità genererebbe configurazioni a cui non attribuirei la caratteristica del parallelismo. Ma se per questo dicessi: non si può tracciare più di una parallela! ciò non significa affatto la stessa cosa che questa proposizione significa nel contesto della geometria euclidea. Non si tratta di una frase appartenente ad una geometria in genere.

A meno che non mi venga in mente un altro modo per risolvere la questione.

Disegno un punto molto grosso, e posso dirti allora che di parallele per un punto ad una retta ne possono passare almeno due:

«Ma allora non hai capito nulla!». Forse. Il fatto è che mi è stato chiesto di adottare un punto di vista intuitivo, e così ho fatto. Ed ora sono preso dal dubbio che non abbia invece capito qualcosa chi asserisce che quella proposizione sembrerebbe garantita dall’intuizione al solo scopo di sancire, con il richiamo immediato alle geometrie non euclidee, la sua irreversibile «crisi» .

Naturalmente per molti secoli quella proposizione è stata ritenuta o evidente in se stessa o dimostrabile a partire da evidenze, ma questa circostanza non può rappresentare per noi un’obiezione. Infatti essa attira la nostra attenzione sulla necessità di interrogarsi sulla molteplicità di sensi che la parola «evidenza» può ricevere, e dunque anche per chiarire quale evidenza la scienza e l’epistemologia moderna ha effettivamente messo in crisi.

Se consideriamo il modo in cui abbiamo sviluppato la nostra discussione, non è difficile rendersi conto che vi sono almeno quattro nozioni di evidenza che da parte nostra non vengono certamente difese, ed anzi non assolvono propriamente nessun ruolo. Si tratta

1. dell’evidenza intesa come illuminazione interiore della verità apodittica, l’evidenza dunque come fenomeno psicologico;

2. dell’evidenza come connessa ad una idea della razionalità metafisicamente garantita;

3. dell’evidenza come nozione connessa con l’intuizione intesa come una specialissima forma di conoscenza, che si contrappone alla conoscenza razionale in genere. Le evidenze intuitive vengono allora considerate come conoscenze autentiche, inaccessibili tuttavia ai mezzi della razionalità e possono rappresentare la base, come in Schopenhauer o in Bergson, di una metafisica non-razionalistica, ma anche di una filosofia della matematica, come accade in Brouwer. Restando sul versante filosofico, questa terza nozione può essere subordinata alla seconda, assolvendo normalmente lo scopo di assicurare un fondamento ad una costruzione di ordine metafisico.

4. infine dell’evidenza nel modo in cui può presentarsi all’interno di una considerazione trascendentalistica di stile kantiano. Quest’ultima, almeno nella sua interpretazione corrente, perviene all’idea di leggi a priori della spazialità reale che sarebbero date intuitivamente, in un senso che peraltro ha ben poco da spartire con il «buon senso» e l’«ingenua opinione», ma che per essere spiegato richiederebbe l’intero armamentario del punto di vista trascendentalistico kantiano. Come si sa, lo spazio è, secondo Kant, forma a priori dell’intuizione, e tutto fa pensare che se fosse interrogata sull’argomento «spazio» l’intuizione kantiana ci fornirebbe null’altro che le regole fondamentali della geometria euclidea. E poiché ogni oggettività intuita è data appunto in questa forma, la geometria euclidea farebbe corpo con la realtà stessa - essa è la geometria del reale stesso.

Ciò che viene messo in questione dalle geometrie non euclidee non è l’evidenza intuitiva in genere: ma è sia la concezione «psicologica» che quella «metafisica» dell’evidenza, sia nella variante razionalistica che in quella non razionalistica, qualora naturalmente - e questa è una precisazione importante - l’una o l’altra o entrambe siano richiamate per sostenere l’incontestabilità assoluta del quinto postulato.

Per ciò che riguarda la concezione trascendentalistica, il concetto filosofico di «intuizione» in essa elaborato non può certo uscirne indenne. Lo stesso rapporto tra spazio geometrico e spazio fisico - che forse in passato non è mai stato veramente problematico e che poteva essere proposto più o meno esplicitamente secondo un’angolatura platonistica, in base alla quale lo spazio fisico-reale deve essere considerato come un’approssimazione ad una rete di rapporti ideali che troverebbero nella geometria la loro manifestazione più pura - ha cessato di essere ovvio nel momento in cui si è resa chiara la differenza tra il piano di un’elaborazione teorica che può svilupparsi secondo le proprie leggi immanenti, e il piano dell’applicazione della teoria ad una realtà effettivamente sussistente. Ma come abbiamo osservato, queste nozioni dell’intuizione e della problematica dell’evidenza connessa ad esse non assolvono propriamente nessun ruolo all’interno della nostra discussione.

Tutta l’attenzione è rivolta piuttosto all’idea di una spazialità sperimentata da cui prendono l’avvio i processi di idealizzazione [3] , secondo una prospettiva che mantiene la massima mobilità: sia per il fatto che con spazialità sperimentata si intende una molteplicità di spazi correlati a modalità differenti di esperienze possibili, sia per il fatto che non vi è da nessuna parte una mappa sulla quale sarebbero prescritti i percorsi di quei processi. Abbiamo notato più volte che si tratta di processi di allontanamento dal mondo dell’esperienza - e non è prescritto quanto vicino o quanto lontano ci possiamo spingere, con quali mezzi, in che modo e con quali risultati.

Il parlare di nuovo gioco linguistico già per la geometria euclidea implica anzitutto che il concetto plasmato sulla pura configurazione tipica comincia con l’essere messo a distanza, mentre si fa avanti l’idea che questo gioco non consista nella presentazione delle strutture metafisico-ontologiche o trascendentali del reale, ma piuttosto in una costruzione del pensiero che ha le proprie regole di legittimazione interna. Allora altri giochi sono certamente possibili, e solo il pensiero stesso potrà mettere limiti oppure toglierli, ed in questo senso potrà anche avvalersi dell’atto «creativo» del far valer questo postulato o quest’altro.

Profondamente insoddisfacente è invece il presentare l’intera questione come una pura vittoria della logica sull’intuizione, l’una all’altra elementarmente contrapposte, a partire dall’idea di una assiomatica formale considerata in un quadro filosofico connotato della retorica convenzionalista della «mera assunzione».

Cerchiamo di motivare meglio questa nostra insoddisfazione ritornando sui nostri esempi. È necessaria indubbiamente una certa spericolatezza, per trarre da essi un effettivo profitto. Ma val la pena di correre qualche rischio per vederci un po’ più chiaro sull’impostazione generale della questione.

Di fronte alla figura seguente

potrei dire che è del tutto evidente che le rette t ed s si incontreranno dalla parte in cui gli angoli sono acuti. Oppure non dovrei dirlo? O dovrei dire che credo soltanto che lo sia, che così mi sembra ma forse non è? Che dopo le geometrie non-euclidee la diffidenza, sotto questo riguardo, non è mai troppa?

Abbiamo già notato che, in ogni caso, qui si va un poco oltre ciò che «letteralmente» si vede. Ad esempio, la figura seguente

presenta angoli adiacenti, l’uno ottuso e l’altro acuto. Ma sulla sua base io posso anche affermare che variando l’angolo acuto varierà anche l’angolo ottuso e secondo una precisa regola: ad un «sempre più» da un lato, deve corrispondere un «sempre meno» dall’altro. Andiamo così un poco oltre ciò la figura in se stessa presenta, anche se questo superamento appartiene ai dinamismi possibili della percezione. Questo senso è intessuto nella figura nella misura in cui ne colgo la struttura ed afferro in essa una possibilità di variazione. Questa possibilità sta nelle pieghe intenzionali di questo afferramento. La forma spaziale viene talvolta a torto indicata come un vero e proprio «simbolo» della staticità. Vi è invece un modo di guardarla che la mette in movimento, essa è-così in un poter-divenire-altro, secondo possibilità coerenti di variazione e di trasformazione.

Sulla base della figura precendente potrei formulare una regola intorno al «sempre più-sempre meno» ed anche questa regola avrebbe il carattere dell’evidenza. In rapporto ad essa il «buon senso» non ha niente da dire in proposito. Nemmeno è il caso di richiamarsi a una «vaga opinione», dal momento che in realtà non si tratta di un’opinione affatto.

Ma a che livello si trovano evidenze come queste? La risposta a questa domanda non è troppo a portata di mano anche se abbiamo già ampiamente preparato ad essa il terreno. Il punto di partenza è certamente la configurazione e l’andamento caratteristico. Ma ciò non significa che ci si attenga al puro piano delle constatazioni empiriche. La figura ha infatti la propria esemplarità, e in base ad essa è possibile operare una generalizzazione che non è affatto una generalizzazione induttiva.

Si tratta dunque di evidenze che riguardano la logica interna della figura, logica che è afferrata in inerenza alla figura stessa.

Vi è una logica delle figure: questo è un punto di particolare importanza. La geometria sorge dal pensiero di rendere esplicita questa logica, con la quale essa dunque anzitutto a che fare. Nello stesso tempo il pensiero geometrico opera una totale trasvalutazione delle figure ricreandole come nuovi oggetti; in questa trasvalutazione e ricreazione entra in azione il pensiero con la sua autonoma capacità produttiva, con le proprie regole: l’oggetto ricreato viene vincolato alla proposizione, ed una logica originariamente inerente ai nessi oggettuali, che resta peraltro puramente implicita, viene resa esplicita, ripresa e nello stesso tempo rinnovata, all’interno di una logica dei nessi proposizionali, all’interno di una costruzione deduttiva.

Questo aspetto assume particolare significato proprio in rapporto ai problemi posti dal quinto postulato. La sua storia più volte narrata può avere una morale piuttosto diversa da quella che di solito si cava da essa. Chiediamoci ingenuamente: perché il grande rovello non è cominciato dal primo postulato piuttosto che dal quinto, perché invece di tentare di derivare il quinto postulato da tutti gli altri non si è tentato di derivare il primo?

La risposta è molto semplice: è il quinto postulato, e non il primo, che si presentava nella sua formulazione linguistica come molto simile ad un teorema, e vi erano dei teoremi che sembravano nella loro formulazione molto simili a quel postulato. Quindi il dubbio ha sempre riguardato la posizione del quinto postulato all’interno del sistema deduttivo, ha riguardato soprattutto la logica dei nessi proposizionali, e non la logica interna della figura così come essa si trova nella sua evidenza pregeometrica. È accaduto poi che badando a questa logica si affacciasse la possibilità di un sistema coerente nel quale compariva in luogo del quinto postulato, una proposizione incompatibile con esso, e si decise di avventurarsi su questa strada.

Questa decisione aveva dalla propria parte due circostanze fondamentali: in primo luogo gli oggetti della geometria sono in ogni caso costruzioni del pensiero - e naturalmente già a partire dal punto senza parti di Euclide. In secondo luogo tra la logica delle figure e la logica delle proposizioni, che sono insieme intrecciate nel pensiero geometrico, spetta al pensiero stesso decidere se, in un certo punto del cammino, convenga dare la priorità alla seconda piuttosto che alla prima. È esattamente e solo a questo punto che interviene l’assunzione: assumo che valga come postulato che per un punto possano passare, ad esempio, due parallele ad una retta data. Il postulato euclideo delle parallele e questo postulato non sono affatto sullo stesso piano dal punto di vista epistemologico. Il primo ha un antefatto nella logica delle figure, il secondo ha un antefatto nella logica delle proposizioni. Il primo appartiene ad un gioco linguistico che avanza la pretesa della chiusura e del superamento dei dati esperienziali, e tuttavia mantiene un rapporto con essi potendo questi dati fornire un qualche sostegno al significato delle parole che compaiono in esso. Il secondo invece appartiene ad un gioco linguistico in rapporto al quale abbiamo deciso che gli interessi sintattici debbano avere, almeno per un certo tratto, la prevalenza su quelli semantici.

Nelle «nuove geometrie» il significato delle parole diventa tendenzialmente indeterminato. Poiché è cambiata la regola, è cambiato anche l’oggetto. Con retta, parallelismo, angolo, ecc. non si intende più ciò che si intendeva prima. Anzi, più precisamente: ora non è per nulla chiaro che cosa si possa o si debba in generale intendere con quelle parole. Il loro senso è tenuto in sospeso. Di contro la loro sintassi è perfettamente determinata. Si affaccia così, prima come una necessità piuttosto che come una conquista, l’adozione di un punto di vista assiomatico-formale che sancirà la differenza tra sintassi e semantica, tra sistema formale e sua interpretazione con autentica chiarezza teorica.

I fatti sono gli stessi, la loro versione è tuttavia un po’ cambiata rispetto a quella consueta, ed anche le conclusioni e i commenti sembrano essere piuttosto diversi. In effetti non vi è modo di innestare su tutto ciò un discorso troppo semplice sulla «crisi dell’intuizione» per almeno due motivi: la soppressione del concetto «intuitivo» non ci porta in dono dei concetti «migliori», ma tende a trasformarsi in una soppressione dei concetti in genere, cosicché l’elogio della logica e del pensiero puro orientato esclusivamente in questa direzione sembra piuttosto controproducente, se è destinato ad approdare ad un elogio dell’assenza di senso. Di contro potrà essere considerato un’importante conquista l’attribuzione di una semantica possibile ai nuovi sistemi teorici.

Il secondo motivo sta in una circostanza di cui ben poco, e non a caso, si richiama l’attenzione all’interno di un dibattito epistemologico che sia influenzato da una prospettiva convenzionalista: si parla infatti di assunzioni come se si trattasse semplicemente di scegliere una alternativa qualunque, tra le molte possibili, quasi che la stessa idea di una giustificazione ci trascinasse verso una pericolosa china. Al contrario si potrebbe forse affermare che mere assunzioni, quindi assunzioni che sono niente altro che assunzioni, nella matematica non si fanno forse mai. Le assunzioni sono sempre ben meditate: è proprio il caso di dirlo. Si conviene su ciò che per varie ragioni può apparire conveniente. Naturalmente non si tratta di convenienze o di interessi pratici. Prima di un’assunzione c’è un problema, c’è una «storia» che la introduce e rende conto di essa. Dopo di essa c’è il seguito di questa storia nel corso della quale si effettuano nuove verifiche sulle ragioni di quella scelta.

Vi sono assunzioni che appaiono non interessanti e che pertanto non vengono nemmeno prese in considerazione. Fino ad ora nessuno ha preso in considerazione la possibilità che per un punto possano passare solo ed esattamente sette parallele ad una retta data. Se si avesse la generosità di dare una chiara risposta a questa stravagante osservazione, si offrirebbero probabilmente molti motivi per una riflessione piuttosto seria.

Essa finirebbe con il vertere sulle regole che orientano implicitamente o esplicitamente il pensiero nel proprio fare produttivo, sulle procedure messe in opera, sui criteri che vengono via via fatti valere nell’attività «ideante». Intorno a queste regole e procedure la contrapposizione tra logica e intuizione ha troppo poco da insegnarci. Che la chiave del progresso del pensiero astratto si riduca ad una vittoria sulle resistenze dell’intuizione apparirebbe come una concezione assai modesta non solo dal punto di vista teorico, ma anche storico. Vi è in realtà una complessa interazione tra diverse istanze, un andirivieni tra piani diversi, un complesso gioco di stimoli e di freni.

Altrettanto poco ha da insegnarci la contrapposizione tra logica e intuizione impiegata nella direzione inversa, secondo una concezione che ha probabilmente il suo modello più vigoroso e drastico in Schopenhauer [4] . Far riferimento a posizioni estreme, sostenute con la massima imprudenza, è talvolta particolarmente utile perché esse mostrano chiarezza i nodi effettivi della discussione, oltre a dare immediato risalto a limiti e pregi. Schopenhauer si scatena contro il metodo «euclideo», che per lui fa tutt’uno con il metodo deduttivo, sostenendone l’improduttività e la superfluità con tanta spericolatezza da alienarsi ogni possibile simpatia anche da parte di coloro che avrebbero potuto forse condividere alcune sue istanze di fondo. In realtà, se si ripensa questa critica della deduzione alla luce delle considerazioni già ampiamente presenti nella Quadruplice radice del principo di ragione sufficiente, situandole all’interno di un quadro interpretativo che la nostra discussione suggerisce, si deve riconoscere che ciò che vi è di prezioso nella posizione di Schopenhauer sta nella difesa quanto mai energica di quella che noi abbiamo chiamato logica delle figure. Per questo aspetto vi sono qui motivi per noi interessanti. Ma egli non si rende conto - e non è poco - che una «geometria» può avere inizio solo se non ci si arresta alla muta contemplazione delle strutture e se dunque questa logica riesce a trovare la via della proposizione. Le figure non sono solo viste - sia pure in un’intuizione liberata dall’empiria: esse sono appunto figure ideate. Ciò significa ad un tempo prospettate in idea e progettate dal pensiero. Questa ideazione prosegue sul piano della proposizione - anzitutto nella ricerca di caratterizzazioni verbali e poi nell’istituire nessi e rapporti tra le proposizioni: deduzioni e strutture argomentative sono momenti di questo pensiero ideante e progettante, e non sterili aggiunte ad una capacità conoscitiva e inventiva che sta tutta prima di esse.

Questo è l’errore di Schopenhauer: il ritenere che la figura possa stare al posto della proposizione, come se le figure parlassero da sole! Il contentarsi delle figure, come se la logica della figura fosse tutto, e la logica della proposizione un nulla!

Ecco due linee che hanno un andamento caratteristicamente diverso.

Ed ora farò questo commento: la prima, a differenza della seconda, può essere considerata come la rappresentazione grafica di una funzione derivabile in ogni suo punto. Si avverte subito l’enorme distanza che separa le figure in quanto sono state semplicemente notate nella differenza del loro aspetto e le stesse figure in rapporto alle quali si parla di «derivazione». Un cammino lungo e intricato conduce dalle prime alle seconde. E quante cose ci sono lungo questo cammino! Non c’è certamente solo la logica delle figure - ma un intero sistema di concetti, di connessioni logico-proposizionali dovrebbe essere richiamato se si dovesse spiegare il senso di quel commento.

L’errore opposto sta nell’idea che abbia diritto all’esistenza soltanto la logica della proposizione. I semplicismi si dànno la mano, sostenendosi l’un l’altro.

Il pensiero può permettersi di spaziare a tutto campo e di avvalersi di molti mezzi. Esso si muove tra regole e tra diversi tipi di regole. Ora poggia sulle figure, ora sui segni. E questi ora li interpreta, ora li lascia provvisoriamente non interpretati. Assume, deduce ed argomenta. Talvolta può per lungo tempo restare prigioniero di una immagine; ma una semplice immagine può anche rappresentare una guida. E può persino, dopo aver posto tra sé e le figure un autentico abisso, ritornare alle evidenze che in esse si mostrano.


Annotazione

Per l’intera tematica di una logica delle figure e del suo complesso rapporto con la proposizione, risulta di straordinario interesse l’interpretazione che Lambert diede di Euclide, riprendendone l’esemplarità metodica per la filosofia in modo interamente differente dalla tradizione. Questa interpretazione è ricostruita e discussa nel notevole volume di Paola Basso, Filosofia e geometria: Lambert interprete di Euclide, La Nuova Italia, Firenze 1999. L’insistenza di Lambert sugli aspetti costruttivi di Euclide, certamente inusuali ai tempi suoi, lo induce a ripensare alla funzione della figura nella dimostrazione ed a porre in questione la stessa concezione del concetto secondo lo schema genere-specie, insistendo piuttosto sui nessi di tipo «genetico». Questa tematica è sviluppata in tutta la sua ampiezza nel volume di Paola Basso, secondo angolature che, oltre a rendere pienamente conto degli aspetti storici, ridestano vivacemente l’interesse teoretico legato ad un dibattito che non si può dire certamente sia ormai esaurito.

Note

[1] In tutta la nostra discussione non prendiamo in considerazioni quelle interpretazioni modernizzanti, del tutto equivoche ed improbabili, che fanno di Euclide un «anticipatore» del punto di vista delle proposizioni fondamentali come «mere assunzioni», e quindi che tendono a presentare Euclide come un convinto convenzionalista.
[2] A. Frajese e L. Maccioni in Euclide, Elementi, cit., p. 72.
[3] Questo è il grande tema assente nell’impostazione kantiana. Proprio per il fatto che la teoria di Kant ha fin dall’inizio di mira la possibilità della conoscenza oggettiva, la sua estetica fallisce i compiti fenomenologici di una autentica filosofia dell’esperienza.
[4] Cfr. A. Schopenhauer, Il mondo come volontà e rappresentazione, I, 15. Nella sua Elementarmathematik, cit., p. 257-259 Klein conduce una discussione ricca di interesse sulla dimostrazione «diretta» del teorema di Pitagora che Schopenhauer propone nel paragrafo citato.

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