Numero e figura
Idee per un’epistemologia della ripetizione
II, § 7

Giovanni Piana

7

- Un modo singolare per impartire ordini e disegnare una linea
- Introduzione del segno F e di un algoritmo generatore di segni F


Il pentagono stellato dei pitagorici - questo oggetto che è tanto concreto e sensibile da aver rappresentato un vero e proprio segno di riconoscimento della setta e che è tanto denso immaginativamente da aver suggerito i più singolari riferimenti magico-rituali, come pentagramma mysticum, attraverso l’intero medioevo e che infine è unicamente in rapporto ad un pensiero - rappresenta una figura in cui può essere esemplificata in maniera non banale la caratteristica di autosimilarità che è una delle condizioni definitorie di oggetto frattale. A noi fornisce l’occasione per imprimere una svolta alla nostra discussione. |1|

Questa svolta può tuttavia avvalersi proprio delle nostre ultime considerazioni sul prolungamento infinito della retta euclidea reinterpretata come risultato dell’applicazione iterata di una regola. Ad esse ci ricolleghiamo immaginando che un allievo con il gesso puntato sulla lavagna attenda istruzioni dal maestro: il maestro dice: «Avanza!» - e l’allievo traccia un segmento di lunghezza prefissata. Il maestro dice ancora «Avanza» e l’allievo esegue prolungando il segmento con un incremento della stessa lunghezza. Il maestro dice ancora «Avanza»: l’allievo esegue. Ora, nulla ci impedisce di intendere questa espressione come nome di un’operazione, cosicché il maestro potrebbe dire all’allievo: «ripeti tre volte l’operazione ’Avanza’». |2|

Conveniamo di simbolizzare l’operazione «Avanza» con la lettera alfabetica F(orward). Disponendo di un’altra lavagna, il maestro potrebbe allora limitarsi a scrivere FFF - e l’allievo, guardando quel segno, sa che cosa deve fare. |3|

In realtà ci sono vari modi di intendere una situazione simile, ed anche di descriverla e di considerarla, tutte altrettanto legittime ed istruttive. Il simbolismo grafico è stato da noi introdotto come una sorta di equivalente dell’istruzione verbale, perciò potrebbe sembrare che tutto resti come prima. |4|

Da un lato vi è una istruzione linguistica, dall’altro la realizzazione della figura in rapporto a ciò che viene impartito in quella istruzione. |5|

Ma l’istruzione linguistica - questo è il primo cambiamento significativo - è comunque un «grafema», una figura anch’essa. Su entrambe le lavagne ci sono ora delle figure. Cosicché potremmo anche non stabilire alcun collegamento tra esse, come accadrebbe per chi entrasse nell’aula senza nulla sapere del gioco che si sta svolgendo. Se stabiliamo la connessione implicando gli agenti - il maestro e l’allievo - si avrà il rapporto «ordine-esecuzione». Ma possiamo anche prescindere da ciò e considerare ad esempio il segno FFF come una sorta di sostituto simbolico-notazionale della linea. Il segno F rappresenta allora un tratto, e nel segno FFF il «prolungamento» del tratto attraverso la sua ripetizione. |6|

Tutto ciò contiene il suggerimento di sospendere temporaneamente il significato che attribuiamo ai segni, proponendo un algoritmo generatore di sequenze di segni F secondo un modello che in realtà già ben conosciamo. |7|

L’elemento iniziale sia il grafema x e la regola sia espressa come una regola di sostituzione per il grafema x. |8|

Inizio Fx

Regola x —> Fx

È necessario prendere chiaramente nota del fatto che abbiamo qui adottato senza riserve un punto di vista «formalistico» e di conseguenza la x non meno della F vale come mero segno grafico. La regola stabilisce che al grafema x è possibile sostituire il grafema Fx. L’unico segno provvisto di senso è in realtà la freccia, dal momento che essa significa appunto: «È possibile sostituire il segno che si trova alla sinistra della freccia con il segno che si trova alla destra». |9|

È facile ora rendersi conto, non appena cerchiamo di far funzionare questo algoritmo, che esso può cominciare e proseguire in un solo modo. |10|

La prima figura del calcolo è stata fissata in Fx. La regola andrà infatti applicata ad essa e si otterrà così FFx. In questo segno vi è un segno x e dunque all’interno di esso potrà essere operata la sostituzione prevista dalla regola, ottenendo così FFFx. Il meccanismo dell’iterazione è dunque del tutto interno all’algoritmo, fa parte di esso. Se per caso volessimo ad un certo punto arrestarci, abbiamo semplicemente preso noi una decisione. L’ultima figura raggiunta segnalerà in ogni caso, con la x che essa contiene, la possibilità di principio di una continuazione. Si noti a questo proposito che, ritornando da questo piano puramente formale, all’interpretazione dei segni-simboli, il segno x resta comunque privo di un riferimento semantico vero e proprio. Esso non ha una interpretazione esterna al linguaggio per il semplice fatto che non gliene abbiamo data alcuna. Tuttavia ha una precisa e importante funzione intralinguistica (sintattica) dal momento che, da un lato, rende possibile il primo passo del calcolo e, dall’altro, rappresenta, all’interno di ogni figura, la condizione per l’ecceterazione della regola. |11|

Come abbiamo già notato ci stiamo muovendo su un terreno che ci è ben noto e che abbiamo cominciato a sperimentare nell’ambito delle considerazioni sul numero. L’algoritmo generatore dei segni F è, dal punto di vista formale, esattamente lo stesso dell’algoritmo che genera i segni della notazione-tratto. |12|


  § 6

§ 8  


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