Numero e figura
Idee per un’epistemologia della ripetizione
II, § 11

Giovanni Piana

11

- Il passaggio infinitario illustrato sull’esempio della curva di Koch
- Il preteso carattere contro-intuitivo della lunghezza della curva di Koch

Numerose delle figurazioni ottenute nelle nostre variazioni sulla curva di Koch sono chiuse, nel senso che riguadagnano il punto di partenza ricalcando poi il percorso precedente, cosicché il procedere oltre nelle iterazioni è privo di interesse per quanto riguarda il risultato grafico. L’iterabilità infinita è garantita all’interno dell’algoritmo, ma è, per così dire, priva di conseguenze. Il motore ad un certo punto gira vuoto e conviene fermarlo. Diversamente stanno le cose per l’originaria curva di Koch: facendo riferimento ad essa si può realizzare un’efficace esemplificazione del passaggio dall’iterazione infinita del processo ad un oggetto posto come infinito. |1|

In rapporto alla curva di Koch si fa notare che essa può essere considerata come una linea che è, ad un tempo, limitata e di lunghezza infinita. |2|

Si potrebbe commentare: quale nuovo scacco per l’intuizione che sicuramente si rifiuterà di accettare una cosa simile! Come potremmo, noi uomini di «buon senso» ammettere che, essendo due punti ad una distanza determinata, questa distanza non possa poi essere percorsa? Solo il pensiero logico, la razionalità pura ci può convincere ad assumere una simile asserzione contro-intuitiva. |3|

A me sembra invece che non vi è forse migliore esempio per mostrare quanto un commento come questo sia superficiale e inconsistente. Eviteremo intanto di chiamare in causa il buon senso, che in genere non passa il suo tempo a meditare sulle curve di Koch ed altre cose similari; e così anche esempi ad hoc che fanno torto alla logica ed al buon senso e che peraltro non hanno nulla a che vedere con ciò di cui si discute - qui non si discute per nulla se si possa fare o meno una passeggiata su una curva di Koch. |4|

Sarà opportuno anche avvertire che talvolta con le parole ci si compiace di fare un vero e proprio «gioco delle tre carte» - cambiando il contesto di senso sotto gli occhi del giocatore sprovveduto. Al contrario in questo genere di discussioni dobbiamo tener fermo anzitutto il senso delle parole; e per tenerlo fermo dobbiamo agganciarlo a qualcosa. Nel nostro caso non possiamo che agganciarlo all’algoritmo ed alla struttura grafica da esso generata. |5|

Allora comprendiamo intanto che cosa significhi qui il fatto che la linea venga detta limitata. Se a e b sono gli estremi del tratto iniziale, questi estremi non cambiano di posizione nel corso delle iterazioni. Ma la reagola realizza per ogni tratto rappresentato da F, una sostituzione con quattro tratti. Nella sostituzione avviene naturalmente la riduzione corrispondente della lunghezza del tratto, ovvero una variazione di scala. Ad ogni iterazione, il tratto rappresentato da F viene ridotto di 1/3; nello stesso tempo i tratti scalarmente ridotti che vengono sostituiti ad ogni F nell’iterazione successiva sono quattro, e non tre. Ciò è mostrato semplicemente dalla figura:

a b

Stando così le cose ad ogni iterazione ogni tratto verrà sostituito con una lunghezza che è maggiore della precedente di 1/3. Questo è appunto evidente. Ed è allora evidente che ad ogni iterazione la linea diventerà sempre più lunga, anche se per incrementiprogressivamente minori. Disponendoci dal punto di vista dell’infinito attuale, in cui non vi è un processo ma una totalità idealmente data, la lunghezza sarà appunto infinita. Ciò può essere compiutamente compreso e lo può proprio per il fatto che la leva fondamentale della comprensione è fornita dal dato evidente che si mostra nella figura precedente - qui non vi sono affatto argomentazioni o deduzioni a partire da premesse, dimostrazioni per assurdo o che altro. Si tratta proprio della vecchia e malfamata Einsicht, e mi azzarderò a dire: proprio nel senso in cui ne parlava Schopenhauer quando impiegava questo termine rendendolo sinonimo di cognitio, in contrapposizione alla convictio, cioè ad una procedura argomentativa che mi obbliga all’assenso anche senza un’effettiva comprensione interna dello stato di cose[1]. Sostengo dunque non solo che il parlare di segmento limitato di lunghezza infinita non ha nulla di contro-intuitivo, ma che una cosa simile è realmente comprensibile solo per mezzo ed a partire da considerazioni «intuitive» - dove tuttavia il termine di intuizione viene impiegato (in realtà piuttosto malvolentieri per via degli equivoci che pesano su di esso) in stretta connessione con l’idea secondo la quale esiste anche una logica delle figure, e non solo una logica della proposizione. |6|

Naturalmente questo dato evidente iniziale si situa in una linea che va ampiamente oltre il piano delle cose concretamente viste e percepite, ed avviene poi il balzo infinitario che ci pone su un terreno di pure idealità. Ma questo balzo ha il suo trampolino nell’iterazione che, mentre comincia in un preciso luogo, termina poi in un totale altrove. |7|

Note
[1] Questa distinzione è già proposta Schopenhauer nella Quadruplice radice del principio di ragione sufficiente, cit., p. 120 e poi ripresa nel Mondo come volontà e rappresentazione.

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§ 12  


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