Indice

Parte prima

Sulla costruzione iterativa del numero

1. Chiarimenti intorno al quadro teoretico-conoscitivo entro cui intendiamo muoverci - La vera filosofia tende all’elementare - La costituzione primaria dei concetti - Il riproporsi su questo terreno di antiche domande - Cenno sul tema dell’ «intuizione» nella tradizione filosofica - La «crisi dell’intuizione» - L’idea della «definizione implicita» - I molti equivoci sull’argomento richiedono una riflessione critica.

2. Prime considerazioni sugli impieghi comuni della parola «numero», «numeroso», ecc. - La semantica oppositiva nel discorso corrente - I modelli percettivi che fanno da sostegno alle espressioni linguistiche - Molti e pochi - Molteplicità e pluralità - Pluralità e singolarità.

3. Il numero come risposta alla domanda «Quanti?» - La nozione di numero intesa come numero-di-oggetti - Numero e molteplicità - Il numero come oggettività a sé stante - Riduzionismo empiristico e ontologismo platonizzante - Critica di questa alternativa attraverso l’idea delle differenze nella modalità dell’intendere.

4. Numero cardinale - Le molteplicità ordinate - Il numero come numero-di-posizione - Cardinalità e ordinalità - I numeri iterativi - I segni numerici.

5. Necessità di passare ad un’elaborazione più approfondita - La priorità della nozione di molteplicità rispetto a quella di numero - Il contare e la serie numerica - Il problema della determinazione della quantità sorge in inerenza alla nozione di molteplicità e indipendentemente dalla serie numerica.

6. Una favola della preistoria molto spesso raccontata - Il confronto tra molteplicità - Il numero non è una proprietà delle cose come il colore - Talvolta la quantità può essere determinata «a colpo d’occhio» - L’afferramento del «numero» come afferramento di una configurazione tipica - Importanza delle procedure indirette per il sorgere del problema del numero.

7. Il metodo del tanti-quanti - La formazione di insiemi-modello per la determinazione della quantità - Assenza di una generalizzazione autentica del metodo - Nel metodo del tanti-quanti non si sa nulla sul numero, non si conta, e nemmeno vi sono nomi per numeri.

8. La strana importanza delle mani nelle procedure del contare - In che modo si usano le mani quando ci accade di contare con il loro aiuto? - La mano come prima «macchina da calcolo» - I metodi corporei in genere - Esempi - Ciò che vi è di nuovo nei metodi corporei.

9. Emergere del problema dell’ordine e legame tra la procedura di conteggio e l’idea della posizione - Conte, filastrocche infantili ed altre strane usanze - In che senso potrebbe essere giusto parlare del corpo come «origine dell’aritmetica»

10. Ciò che manca ai metodi corporei per approdare realmente sul terreno del numero - Limiti dell’organicismo dell’ordine - In che senso parlare del corpo come origine dell’aritmetica potrebbe essere del tutto sbagliato.

11. Necessità di una rinnovata riflessione sul problema dell’ordine - L’idea di un ordine intrinseco - Ordine e ripetizione - Ripetizione semplice e ripetizione concatenata - Ordine intrinseco e concatenazione.

12. Le serie ricorsive - La serie che rappresenta la forma della concatenazione - Ciò che mancava ai metodi corporei era il pensiero della concatenazione - In rapporto ai numeri si può dire che il loro essere coincide con il loro luogo - Il numero come oggettività sintattica.

13. Riproposizione del problema del contare - Nel contare non si sorteggiano numeri - Cardinalità, ordinalità e iteratività - Importanza fondamentale del numero iterativo nella filosofia del numero - Iterazione e apertura infinitaria - La soppressione dell’esperienza.

14. Qualunque numero deve poter avere un nome - Che cosa è una denominazione sistematica per i numeri - La notazione-tratto.

15. I numeri distributivi e l’idea di una base - La domanda «Quanti per volta?» - Ai metodi additivi manca l’idea di grande unità ottenuta ricorsivamente - Intreccio tra concetto e rappresentazione - Grande unità, ricorsione e notazione posizionale.

16. Considerazioni sui calcoli aritmetici nel senso comune del termine - Il calcolo e la macchina - La possibilità di un uso generalizzato del termine di «calcolo» (algoritmo) - Il calcolo come manipolazione di segni secondo regole - La singolare vicenda della parola «assioma» - I segni come figure - Pensieri e segni - Passaggio dal numero alla figura.

Parte seconda

Sulla costruzione iterativa delle figure

1. La geometria come scienza dello spazio e scienza delle forme - Numeri e figure - La geometria come «semantica» dell’aritmetica - I vincoli «intuitivi» e l’istanza del loro superamento

2. La geometria e la terra - Husserl e Mandelbrot: un invito a ricordare - Le figure nell’esperienza pratico-percettiva - Il problema di una tipologia empirica delle forme - Inizio di una libera riflessione che prende spunti da Euclide - Riflessioni su linee molto sottili - Riflessioni sull’angolo piatto.

3. L’intuizione e il buon senso - La differenza tra giochi linguistici e le loro possibili sovrapposizioni - Le definizioni euclidee guardano da due parti - Importanza della verbalizzazione.

4. Sulla prima proposizione degli Elementi di Euclide - In essa si formula un compito costruttivo - Lo scopo della costruzione è tuttavia quello di mostrare le connessioni interne della figura.

5. La questione dell’evidenza - È evidente il primo postulato? - E il terzo? - E che dire del quinto postulato? - Crisi dell’intuizione e crisi dell’evidenza - Quattro possibili accezioni del termine evidenza - Logica delle figure e logica delle proposizioni - La sospensione del senso nel passaggio alle nuove geometrie - Evidenze ed assunzioni.

6. Riflessioni riflessioni sulla retta terminata di Euclide - Iterazione operativa e motivo infinitario - L’ecceterazione come strumento primario per l’ideazione di nuovi oggetti - Il pentagono stellato dei pitagorici - La figura infinita.

7. Un modo singolare per impartire ordini e disegnare una linea - Introduzione del segno F - Una sequenza di segni come sostituto simbolico-notazionale di una linea - Introduzione di un algoritmo generatore di segni F.

8. Introduzione nel simbolismo dei segni che indicano il mutamento di direzione - Esempi di calcoli per la costruzione di poligoni regolari.

9. Variazioni sul tema del pentagramma pitagorico e scoperta dell’algoritmo che lo genera.

10. Variazioni sulla curva di Koch - Problemi attinenti al rapporto tra figura generata e algoritmo generatore.

11. Il passaggio infinitario illustrato sull’esempio della curva di Koch - Il preteso carattere contro-intuitivo della lunghezza della curva di Koch.

12. La «crisi dell’intuizione» secondo Hans Hahn - Discussione critica sulla base di due esempi: la curva di Weierstrass e la curva di Peano-Hilbert.

13. Per concludere: alcune osservazioni sulla «geometria della natura» e sugli oggetti «fratti» - Il richiamo alla differenze soggettive del punto di vista - Il nostro scopo è stato quello di mostrare quanto sia movimentato il rapporto tra l’esperienza e le elaborazioni intellettuali.